제2장 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식 ...... 2.3 조화진동자(2)

너무 길어서 나누고, 이어서 가는 거임

요기서는 사다리 연산자로 알아보는디 아주 잼있다잉.  ㅋㅋ

 

어떻게 쓰먹냐 하면

조화진동자의 임의의 해 Ψ가 있을때 $a_{+}\Psi $요거 함 구해 보드라고, 그니까 Ψ보다 한칸위의 에너지 준위에 있는 그넘을 아시고 싶다 이말씀. 에너지 연산자로 연산을 해야 에너지 상태를 알수 있것지. 엥? ok!

 

$\hat{H}\left ( a_{+}\Psi  \right )=\hbar\omega \left ( a_{+}a_{-}+\frac{1}{2} \right )(a_{+}\Psi )$

 

                 $=\hbar\omega \left ( a_{+}a_{-}a_{+}+\frac{1}{2} a_{+}\right )\Psi \quad \quad  \Rightarrow  \quad a_{-}  a_{+}-a_{+}a_{-}=1$

 

                  $=\hbar\omega \left\{ a_{+}(a_{+}a_{-}+1)+\frac{1}{2}a_{+}\right\}\Psi $

 

                  $=a_{+}\hbar\omega \left\{(a_{+}a_{-}+1)+\frac{1}{2}\right\}\Psi =\hat{H}$

 

                  $=a_{+}(\hat{H}+\hbar\omega )\Psi$

 

                  $=(\hat{H}+\hbar\omega ) (a_{+}\Psi )$

 

                  $=(E+\hbar\omega ) (a_{+}\Psi )$

 

어우 헷갈려 ...... 요 과정에 대하여 썰을 풀어보면 어떤상태함수 Ψ에 다가 올림연산자를 적용시키고 에너지연산자로 연산을 해서 가설라무네 보며는 photon 1개의 에너지가 더해진 상태로 된다.  즉 요Ψ가 조화진동자의 n번째 상태라면 라면 $a_{+}\Psi $ 는 n+1번째 상태가 되것쥬 그라고 내림연산자를 딱하나 적용시키면 n-1번째가 될것이 구먼유 .... OK !!!

 

요걸 일반화 시켜보자공

 

$a_{+}\Psi _{n}=c_{n}\Psi_{n+1}$

 

그런데 만약 내림연산자를 계속 적용시키면 우찌 될까? .... 3, 2, 1, 0, -1, -2, -3, .... 일케 될까? 노노노 놉 조화진동자계의 에너지가 음수는 절대로 불가 하지

E = K + V 에서 E < V 이런 불상사가 생겨서는 않되지라 ... 무신소리 ? 함 알아보까?

 

$-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial ^{2}}{\partial x^{2}}\Psi +V(x)\Psi =E\Psi$

 

$\frac{\partial ^{2}}{\partial x^{2}}\Psi =k^{2}\Psi, \quad k^{2}=\frac{2m(V(x)-E)}{\hbar^{2}}$

 

일케되면 발산하잖아, 발산하면 적분해서 유한한 값이 안나오잖아. 그람 물리적 의미가 없잔아 구래서?

아 그라니까 음수는 않된다공....아! (아? 바부 도트는 소리.... ㅋㅋ)

 

그람 우찌 되것노???

어떤 에너지상태 Ψ(x)에 계속 lowering operator를 취하면 어느순간 에너지는 0이 될것이다. 맞지? 응

 

즉  Ke + Ve = 0

 

그런데 양자적상태에 있는 입자는 불확정성 원리에 의해 정지해 있을 수 엄따. 그렇타 !!!

포텐셜 에너지 곡선에서 살펴보면 입자가 정지하면 V=0가 되고, 그람 x=1이 되어야하고, 그람 P=∞가 되면 우찌 되는데, 우찌되긴 입자가 존재할 수 없으니까 이런 상태는 있을수 엄찌, 절대로 정지상태는

그래서 최소상태에 있을 수 있는 상태함수가 Ψ0라고 하면 에너지가 0인 상태는 $a_{-}\Psi _{0}=0$이될것이다.

 

​쪼아 그람 여기서 ground state를 함 확인 해 보장

 

$a_{-}=\left\{ \frac{1}{\sqrt{2m\hbar\omega }}(ip+m\omega x)\right\}$

 

$0=a_{-}\Psi _{0}$ 

 

    $=\left\{ \frac{1}{\sqrt{2m\hbar\omega }}(ip+m\omega x)\right\}\Psi _{0}$

 

    $=\frac{1}{\sqrt{2m\hbar\omega }}\left ( \hbar\frac{d}{dx} +m\omega x\right )\Psi _{0} \quad \quad \because p=\frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx}$

 

그러니간 두루 상수는 빼고

 

$\hbar\frac{d}{dx}\Psi _{0}+m\omega x\Psi _{0}=0$   이어야 겠지

 

$\hbar\frac{d}{dx}\Psi _{0}=-m\omega x\Psi _{0}$

 

$\frac{1}{\Psi _{0}}\frac{d\Psi _{0}}{dx}=-\frac{m\omega x}{\hbar}$

 

$\frac{1}{\Psi _{0}}d\Psi _{0}=-\frac{m\omega}{\hbar}xdx$

 

$\int \frac{1}{\Psi _{0}}d\Psi _{0}=\int -\frac{m\omega}{\hbar}xdx$

 

$ln\Psi _{0}=-\frac{m\omega }{2\hbar}x^{2}+C$

 

$\Psi _{0}=e^{-\frac{m\omega }{2\hbar}x^{2}+c}$

 

       $=e^{-\frac{m\omega }{2\hbar}x^{2}}\cdot e^{c}$

 

       $=Ae^{-\frac{m\omega }{2\hbar}x^{2}}$

 

normalization 으로 미정계수 A를구하며는

 

$\int_{-\infty }^{\infty }\left | \Psi _{0}\right |^{2}dx=A^{2}\int_{-\infty }^{\infty }e^{-\frac{m\omega }{\hbar}x^{2}}dx=1$

 

요건 요건 가우스적분을 해야하는 꼬라지네, 조 앞에서 했짜나

 

                       $=A^{2}\sqrt{\frac{\hbar\pi }{m\omega }}=1$

 

$\therefore A=\sqrt[4]{\frac{m\omega }{\hbar\pi }}=\left ( \sqrt{\frac{m\omega }{\hbar\pi }} \right )^{\frac{1}{4}}$

 

$\therefore \Psi _{0}=\sqrt[4]{\frac{m\omega }{\hbar\pi }}e^{-\frac{m\omega }{2\pi }x^{2}}$

 

이누마가 바닥상태의 파동함수 맞지? 맞잖아 !!! 웅 ......... 그래 마자!  그래서?  그래서 머?

아니 ㅡ.ㅡ

걍 이상태의 에너지 함 구해 볼라꼬

헤밀토니안을 드리대면 에너지 나오잖아. 그거.... 앞장에 있다. ㅋㅋ 사다리연산자로 맹근 슈뢰딩거방정식

 

$\hat{H}\Psi =E\Psi $

 

$\hbar\omega \left (a_{+}a_{-}+\frac{1}{2} \right ) \Psi =E\Psi $

 

$\hat{H}\Psi _{0}=\hbar\omega \left (a_{+}a_{-}+\frac{1}{2} \right ) \Psi_{0}$

 

          $=\hbar\omega \left (a_{+}{\color{Red} a_{-}\Psi _{0}}+\frac{1}{2}\Psi _{0} \right )$  여기서 $a_{-}$ 이하  $a_{-}\Psi _{0}$ 요거 0이다. 조위에 있다.

 

          $=\hbar\omega \frac{1}{2}\Psi _{0}$          

 

$\therefore E_{0}=\frac{1}{2}\hbar\omega $        이누마가 바닥상태의 에너지가 되것지