정규분포 식 이해(2)

2) 다음은 $A_{\circ }$ 이거이에 대해서도 알아봐야 헌다.

$A_{\circ }$ 이눔의 꼬라지가 왜 $\left ( \frac{1}{\sigma \sqrt{2x}} \right )$ 욜케 생겼을까나?

 

$f(x)=A_{\circ }e^{-\frac{1}{2}kx^{2}}$     가 확률밀도함수 이므로

 

$\int_{-\infty }^{\infty }f(x)dx=0$을 만족하여야 한다. 당근, 근디 우짜라고? 대입?   OK !

 

$\int_{-\infty }^{\infty }A_{\circ }e^{-\frac{1}{2}kx^{2}}dx=1$

 

$\int_{-\infty }^{\infty }e^{-\frac{1}{2}kx^{2}}dx=\frac{1}{A_{\circ }}$       $\frac{1}{A_{\circ }}$    => I 라 두면

 

$I^{2}=\int_{-\infty }^{\infty }\int_{-\infty }^{\infty }e^{-\frac{1}{2}k(x^{2}+y^{2})}dxdy$     극좌표로 변환하면

 

     $=\int_{0}^{2\pi  }\int_{0}^{\infty }e^{-\frac{1}{2}kr^{2}}rdrd\theta$

 

$-\frac{1}{2}kr^{2} =u$ 라 하면     $-krdr=du$     $rdr=-\frac{1}{k} du$

 

     $=\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{-\infty }e^{u}\left ( -\frac{1}{k} \right )dud\theta $

 

     $=-\frac{1}{k}\int_{0}^{2\pi }\left [ e^{u} \right ]_{0}^{-\infty }d\theta $

 

     $=-\frac{1}{k}\int_{0}^{2\pi }\left [ 0-1 \right ]d\theta $

 

     $=\frac{1}{k}2\pi =\frac{2\pi }{k}=I^{2}$

 

$\therefore I=\sqrt{\frac{2\pi }{k}}=\frac{1}{A_{\circ }}$

 

$A_{\circ }=\sqrt{\frac{k}{2\pi }}$

 

정규분포의 정규화상수와 가우시안함수의 정규화 상수는 같은 개념에서 온 것으로 본질적으로 같다. 하나는 물리, 하나는 통계에서 쓰지만 같은 수학적구조를 가지고 있다. 요거는 너무 엇나가는 듯해서 추가 설명 생략 ...... 쩝

 

 

3) 자 이제 마지막으로 확률밀도함수 f(x)에 대하여

 

$\mu $(평균)$=\int_{-\infty }^{\infty }xf(x)dx$

 

$\sigma ^{2}$(분산)$=\int_{-\infty }^{\infty }x^{2}f(x)dx$     이니까

 

$\mu =\int_{-\infty }^{\infty }x\sqrt{\frac{k}{2\pi }}e^{-\frac{1}{2}kx^{2}}dx=0$

 

(x는 기함수)×(exp는 우함수)=기함수

 

기함수의 양끝을 적분구간으로 하는 적분은 0이 되므로 (μ = 0) 어떤 물리량을 구할수 없다그럼 우짜노? 우짜긴 분산을 가지고 해봐야지 ㅋㅋ

 

$\sigma ^{2}=\int_{-\infty }^{\infty }x^{^{2}}\sqrt{\frac{k}{2\pi }}e^{-\frac{1}{2}kx^{2}}dx$

 

     $=\sqrt{\frac{k}{2\pi }}\int_{-\infty }^{\infty }x^{2}e^{-\frac{1}{2}kx^{2}}dx$

 

     $=\sqrt{\frac{k}{2\pi }}\int_{-\infty }^{\infty }x\cdot xe^{-\frac{1}{2}kx^{2}}dx$

 

      $u=x$               $dv=xe^{-\frac{1}{2}kx^{2}}$

 

      $du=1$              $v=-\frac{1}{k}e^{-\frac{1}{2}kx^{2}}$

 

      $=\sqrt{\frac{k}{2\pi }}\left\{ \left [ x\cdot \left ( -\frac{1}{k} \right )e^{-{\frac{1}{2}kx^{2}}} \right ]_{-\infty }^{\infty }+\frac{1}{k}\int_{-\infty }^{\infty }e^{-\frac{1}{2}kx^{2}}dx\right\}$

 

그런데 $e^{-\frac{1}{2}kx^{2}}=0$ 이지 그니까

 

      $= \sqrt{\frac{k}{2\pi }}\cdot \frac{1}{k}\cdot \sqrt{\frac{2\pi }{k}}=\sigma ^{2}$

 

$\therefore k=\frac{1}{\sigma ^{2}}$

 

$f(x)=\sqrt{\frac{k}{2\pi }}e^{-\frac{1}{2}kx^{2}}$

 

     $=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}e^{-\frac{1}{2}\frac{x^{2}}{\sigma ^{2}}}$

 

μ가 일반적인 평균값일 경우 x 를 (x−μ)로평행이동시키면

 

$=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}e^{-\frac{1}{2}\frac{(x-\mu )^{2}}{\sigma ^{2}}}$

 

요로케 끝났는디 사실 공식만 알고 있고 증명까지는 별로 필요 없는디 기래도 지적 목마름이 간절한분이 혹시나 혹시나 있을까하여 ㅠㅠ