Bra-ket notation

< 디락 표기법 _ dirac notation >

 

우선 급한대로 양자역학에서 사용하는 몰라서는 아니되는 연산자(operator) 요것들 몇개 정리해 놓고 진도 나가 볼랬더니 이눔 브라-켓 요것이 더 급하구만 해서 간단 요약 정리하면서 충분히 석두에 새겨 놓을까 한다

 

 

<Bra-Ket Notation>

 

<Φㅣ 이눔이 브라, ㅣΨ> 이눔이 켓

 

브라(bra) ; $< \phi \mid =\mid \phi > ^{\dagger }=\begin{pmatrix}\phi _{1} \\\phi _{2}\end{pmatrix}^{\dagger } =\left ( \phi _{1}^{\ast }\quad \phi _{2}^{\ast } \right )$

 

켓(ket) ; $\mid \psi  > =\begin{pmatrix}\psi  _{1} \\\psi  _{2}\end{pmatrix}$

 

브라-켓(Bra-Ket)

$< \phi \mid \psi  > =\psi _{1}\phi _{1}^{\ast }+\psi _{2}\phi _{2}^{\ast }=< \psi \mid \phi > ^{\ast }$

 

켓-브라(Ket-Bra)

$\mid \psi>< \phi \mid  =\begin{pmatrix}
\psi _{1}\phi _{1}^{\ast } & \psi _{1}\phi _{2}^{\ast } \\\psi _{2}\phi _{1}^{\ast } & \psi_{2} \phi _{2}^{\ast } \\
\end{pmatrix}$

 

연산은 행렬을 곱하는 것과 같고, 브라-켓의 경우 (행벡터)(열벡터)의 형태로 결과가 스칼라값이 나오는 내적과 같으며, 켓-브라의 경우는 (열벡터)(행벡터)의 형태로 결과가 NxN 행렬이 나온다.

 

영어로 괄호를 브라킷(brackets)이라고 하잖아요요, ㅋㅋ   요걸 영국산 천재 디랙 아자씨가 양자역학에서리 양자상태를 표시하는 벡터로 사용하자고 해서리 모두 그라자고 박수(는 쳤는지 모르겠고) 해서 사용하게 되었다고 여기 저기 마니 나와 있어여 그래서리 dirac notation 이라고도 부르데여

 

켓        $\mid \psi > = \begin{pmatrix}\psi _{1} \\\psi _{2}\\\cdot  \\\cdot  \\\psi _{n} \\\end{pmatrix}$ 이눔이가 열벡터(column vector)

 

브라     $< \psi ^{\ast }\mid =(\psi _{1}^{\ast }, \psi_{2}^{\ast }, \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \psi _{n}^{\ast } )$     이눔이가 행벡터(row vector)​

 

여기서 "$\ast$" 이거이가 복소전치행렬인거는 알지럴? 선형대수 공부는 기본이다잉

양자역학 공부에는 수리물리학(미적분학, 선형대수학, 미분방정식,  복소수, 확률통계, 고전역학, 전자기학 외)이 거의 필수이니까 몽땅하고 하던지 해가면서 하던지 ...... 뇌의 경도에 따라 새기는 방법이 각자 다를거여 ㅋㅋ 추천은 몽땅 한번씩 하고 또 해가면서 하고 수시로 ㅋㅋㅋ 암만 돌이라도 새긴데 또 새기면 지가 ㅡ.ㅡ

 

이눔들 사이의 관계는     $\mid \psi > =< \psi \mid ^{\ast }$

 

내적은                           $(\phi ,\psi )=< \phi \mid \psi > =(< \phi \mid )(\mid \psi > )$

 

                                 $=\int_{a}^{b}\varphi ^{\ast }\psi dx$

 

외적은                            $\mid \psi > < \phi \mid =\begin{bmatrix}a \\b\end{bmatrix}\left [ c, d \right ]=\begin{bmatrix}
a\cdot c\quad  a\cdot d \\b\cdot c\quad b\cdot d\end{bmatrix}$

 

또임의 연산Q의 기대값은

 

$< Q> =\int \psi ^{\ast }Q\psi dx$     =>     $< \psi \mid Q\mid \psi > =< \psi \mid Q\psi > $

 

그라고 또 요거 $< g \mid f > =<f \mid g >^{\ast } $

 

자 또 ...... 모든 양자 상태는 정규화(normalized)되어 있어야 한다. 왜냐고? 그래야 전체 확률이 1이되고 기래야 각 상태의 확률 해석이 가능하기 때문이다. $< \psi \mid \psi > =1$ 요렇게 되면 자신과의 내적이 1이지 즉 정규화 된 것이당당

예를 들어 보며는 석두에 쪼매더 잘새겨 지것지 다음의 상태는

 

$\mid \psi > =\frac{1}{\sqrt{2}}\bigl(\begin{smallmatrix}1 \\1\end{smallmatrix}\bigr)$     이거는

 

$< \psi \mid =\left ( \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1 \\1\end{pmatrix} \right )^{\dagger }=\frac{1}{\sqrt{2}}\left ( 1\quad1 \right )$     요렇게도 되지 그렇지 기럼 내적해보면

 

$< \psi \mid\psi >  = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1 \\1\end{pmatrix}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\left ( 1\quad1 \right )=\frac{1}{2}(1+1)=1$

 

 

그라고 또 다음 식은 양자역학에서 큐비트(qubit)의 상태를 나타내는 방식이다. 계산과정을 보면서 쪼매라도 이해해두자

 

$\mid \psi > =\frac{1}{\sqrt{2}}(\mid 0> +\mid 1> )=\bigl(\begin{smallmatrix}1/\sqrt{2} \\1/\sqrt{2}\end{smallmatrix}\bigr)$

 

양자 컴퓨터에서 사용되는 두개의 기본상태(기저상태벡터)는 다음과 같이 표현된다.

 

$\mid 0> =\begin{pmatrix}1 \\0\end{pmatrix},\qquad \mid 1> =\begin{pmatrix}0 \\1\end{pmatrix}$

 

주어진 상태는

$\mid \psi > =\frac{1}{\sqrt{2}}(\mid 0> +\mid 1> )$ 

이것은 두상태의 선형 걸합이며  정규화(normalized)되어 있는 모양이다.

 

계산해보까? ㅋㅋㅋ

$\mid 0> =\begin{pmatrix} 1\\0\end{pmatrix}$

$\mid 1> =\begin{pmatrix} 0\\1\end{pmatrix}$

$\mid 0>+\mid 1> =\begin{pmatrix} 1\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0 \\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \\1\end{pmatrix}$

 

근디 이거슨   

$\left\| \begin{pmatrix}1 \\1\end{pmatrix}\right\| =\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$     

즉     $\mid 0> +\mid 1>  $     로 길이가 $\sqrt{2} $인 벡터이다. 정규화 하기위해 $\frac{1}{\sqrt{2}}$를 곱하면

 

$\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1 \\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} \\\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}$

 

$\sqrt{\left ( \frac{1}{\sqrt{2}} \right )^{2}+\left ( \frac{1}{\sqrt{2}} \right )^{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}=\sqrt{1}=1$

 

 

아이고 머리야 .....우찌도라가는지 눈티만 까고 일단 요만큼만 ㅠㅠ