특수상대성이론 ...... Time Dilation (시간지연)

특수상대성이론에서 중요한 개념이다. 아주 간단히 말하면 ‘움직이는 시계는 느리게 간다’는 것이져 

조금 더 자세히 설명하면, 어떤 물체가 매우 빠르게 움직일수록 그 물체에서 측정되는 시간은 정지한 관찰자에 비해 더 느리게 흐른다. 예를 들어, 우주선을 타고 광속에 가까운 속도로 여행을 하면, 그 안의 사람에게는 몇 시간이 지난 것 같지만, 지구에서는 수십 년이 흐를 수 있다는것. 이 현상은 실험적으로도 증명된 바도있고, 실제로 빠르게 움직이는 입자(예: 뮤온)의 수명이 지구에 도달할 때 길어진다는 실험 결과가 시간지연 효과를 강력하게 지지하니까 걍믿어 믿자 ㅋ.

 

4차원 시공간에서 로렌츠변환을 이용해 시간지연효과를 수학적으로 알아 볼라고 한다. 쉽게 

 

4차원 시공간이란?

 

먼저 3차원세계 여기서는 시간과 공간이 완전히 구분된다.

아래 그림을 보면, 척보면 방안에서 빨간점 파리(p)가 어디에 있는지 알수 있다. 그지 ? 파리채를 휘두를 위치는 이 그림에서는 대충대충이다  x=3, y=2, z=3 쯤이네. 요렇게 하는데, 이것은 직각좌표계 다. 원통좌표계, 구좌표계로 나타낼수도 있다. 그쟈? 

 

시간은 점심밥 묵을 때  12시 37분 45초다. 근디 파리가 움직이니까 시간마다 파리의 위치는 바로 바뀐다. 응 관계식은 일반적으로 

$\vec{r}(t)=\left ( x(t),\,y(t),\,z(t) \right )$ 요로케 나타낸다. $\vec{r}$은 기준점 0에서 빨강점 P까지의 거리 r에, 방향과 크기를 함께 나타내는 $\rightarrow$ 표 요거는 벡터 표시다. 글치? 시간 t는 계속 변하것지. 여기서 중요한 것은 위치는 위치, 시간은 시간, 이 두가지를 완전히 따로 독립적으로 취급하는거다. 이것이 3차원 세계, 보통우리가 인식하고 있는 일반적인 상황이다.

 

4차원 시공간이란? 3차원의 공간(x,y,z)이 시간(t)와 함께 묶여 있다는 것인데 표현은 $X=(ct, x, y, z)$, 복소수표현은 $X=(ict, x, y, z)$ 요렇다. 근디 왜 4차원을 들먹이냐 하면은, 우리의 일상적 시각과 사고는 3차원이면 대충 맞아서 큰 불편없이 사는데 말이여 진실은 4차원으로 보고 생각하지 않으면 않되는것으로 증명되었단 말이지. 기래서 우리는 4차원세계를 이해해야 하고, 글고  알아야 0.2% 모자라는 인간에서 벗어 날수 있는거여. 기래서 여기서 상대성이론을 공부하는거고.

 

앞에서 3차원의 갈릴레이의 상대론이 로렌츠변환에 의해 틀렸다는 것을 알았자나. 그 틀린 것을 우찌하면 바로 고칠 것인가? 이것에 대한 고민의 결과가 특수 상대성이론이거지  oK? 현제까지 이눔의 틀린점은 못찾았으니게 모두 맞다고 믿고 있는거고. 특수상대성이론이 진실이기 위한 전제조건은

• 상대성 원리: 모든 관성 기준계에서 물리 법칙은 동일하다.
• 빛의 속도 불변: 빛의 속도는 모든 관찰자에게 (c)로 동일하다.

이것은 실험과 증거로 증명된 것이다. 의심나면 차자 봐라여 ㅡ.ㅡ

특수 상대성 이론에서는 시간과 공간이 절대적이지 않고, 관찰자의 상대적 운동에 따라 달라진다. 빛의 속도 (c)가 모든 기준계에서 일정해야 하므로, 빠르게 움직이는 물체의 시간과 공간이 "늘어나거나 줄어드는" 효과가 나난다. 시간지연 효과는 이 원리에 의해 나타나는 것이다다.

 

요렇게 구구절절 바람을 잡아 놓고 수학적 접근을 시작한다. 자,    가자!!     별거 별거 아니다.

시간지연 효과를 알아보려면, 우주선 처럼 무쟈게 빨리 움직이는 기준계(S')에서 시간이 어떻게 보이는지를 계산하고,  정지해있는 곳의 시간 움직임을 비교해 보면 간단하자노. 

 

 

이제 본격적으로 시간지연 효과를 수학적으로 살펴보자.

 

우리가 분석할 상황은 아래와 같다:

• 관성계 S: 지구처럼 정지해 있는 기준계
• 관성계 S′: 등속도로 움직이는 우주선 내부

우주선 안에 있는 사람은 자기 기준에서 아무 일도 없다고 생각하겠지만, 지구에서 보면 우주선은 v의 속도로 움직이고 있고, 우주선 안의 시계가 "천천히 간다"는 현상이 관측된다. 이게 바로 "시간지연 효과"다.

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 [기준 설정]

우주선 안에서 광시계(빛이 위아래로 반사되는 장치)가 있다고 하자. 이 장치에서 빛이 한 번 위아래로 반사되는데 걸리는 시간은 다음과 같이 표현된다:

 

우주선 내부 관찰자(S′ 기준)에서는 빛이 수직으로 움직이므로

 

$t^{'}=\frac{2L}{c}$

 

여기서 L은 빛이 한 방향으로 이동하는 높이이고, c는 빛의 속도다.

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[외부 관찰자 입장에서의 시간 (S계)]

정지한 지구 기준에서는 우주선이 옆으로 움직이고 있으니, 빛은 단순히 위아래로 가지 않고 "대각선 경로"를 따라 움직이게 된다.

• 이 경우 빛은 피타고라스 정리에 따라 이동한 거리만큼 더 오래 걸리게 된다.

빛이 위로 반사되었다 다시 돌아오는 동안 우주선은 수평으로 vt/2 만큼 움직였고, 수직 이동거리는 여전히 L이므로 빛의 한 쪽 왕복거리는 다음과 같이 표현된다.

$\left ( \frac{ct}{2} \right )^{2}=L^{2}+\left ( \frac{vt}{2} \right )^{2}$

 

양변에 4를곱해 제곱한다

$c^{2}t^{2}=4L^{2}+v^{2}t^{2}$

 

t에 대하여 정리한다.

$c^{2}t^{2}-v^{2}t^{2}=4L^{2} $     $t^{2} (c^{2}-v^{2})=4L^{2}$     $t^{2} = \frac{4L^{2}}{c^{2}-v^{2}}$ 

 

여기서 $t^{^{'}}=\frac{2L}{c}$ 이지. 우주선 안에서 빛이 위아래로 움직인시간t'=거리L에 위아래하면 2L, 빛c의 속도로 ㅋㅋ 요것을 이용해서 t와 t'의 관계를 정리하면 

$t=\frac{t^{'}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}=\gamma t^{'}$

 

자 봐라 !!! 로렌츠인자($\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}$) 만큼 딱 느려 진거 보이지 ... 이거이가 시간팽창이라고도하는 시간지연 현상이다. 이것보다 더는 쉽게 설명 몬하것다.