특수상대성이론 ...... 길이수축

1. 길이 수축이란?

움직이는 물체의 길이는 짧아 보인다!

• 정지해 있을 때보다, 빠르게 움직이고 있는 물체의 길이가 운동 방향을 따라 짧아진다는 것이 길이 수축이다.
• 이 현상은 빛의 속도가 항상 일정하다는 특수상대성이론의 기본 전제로부터 나온다.

2. 왜 이런 일이 생길까?

아인슈타인의 특수상대성이론은 시간과 공간이 절대적인 것이 아니라는 두 가지 핵심 전제가 있지. 

 

• 빛의 속도는 모든 관찰자에게 일정하다.
• 모든 관성계(등속 운동 중인 기준계)는 물리적으로 동등하다.

이 조건들을 만족하려면 시간과 공간이 절대적인 개념이 아니라, 관찰자에 따라 상대적으로 달라져야 한다. 그 결과 중 하나가 길이 수축이다.

 

3. 길이 수축은 착시인가? 실제인가?

길이 수축은 단순한 착시가 아니다.
특수상대성이론에서는 절대적인 공간이나 시간은 없으며, 모든 물리량은 관찰자에 따라 상대적이다. 따라서 관찰자가 측정한 길이는 그 기준계에서 실제 길이다.

예를 들어:

• A: 우주선 내부 기준계 → 고유 길이
  $L_{0}=100m$
• B: 지구 기준계 → 수축된 길이
  $L=60m $

A는 "우주선은 100m"라고 말하고, B는 "우주선이 60m"라고 말한다. 둘 다 맞다. 각각의 기준계에서 측정된 값이 바로 '실제'다.

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4. 길이 수축 공식

길이 수축은 다음 공식으로 주어진다.

 

$L=L_{0}\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}=\frac{L_{0}}{\gamma }$​

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여기서

• L: 움직이는 물체의 길이 (관찰자 기준계)
• $L_{0}$​: 고유 길이 (물체 기준계, 정지 상태)
• v: 물체의 속도
• c: 빛의 속도
• γ: 로런츠 인자

$\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}$​

 

$\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}< 1 \quad \Rightarrow \quad L< L_{0}$

 

즉, 움직이는 물체의 길이는 항상 짧게 측정된다.

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5. 로런츠 변환으로부터의 유도

5.1. 로런츠 변환

두 기준계를 가정하자:

• S: 정지한 관찰자 (지구)
• S′: 속도 v로 x-축 방향으로 움직이는 관찰자 (우주선 내부)

로런츠 변환식은 다음과 같다.

 

$x^{'}=\gamma (x-vt), \quad t^{'}=\gamma \left ( t-\frac{vx}{c^{2}} \right ) \quad y^{'}=y, \quad z^{'}=z$

 

역변환은

 

$x=\gamma (x^{'}-vt^{'}), \quad t=\gamma \left ( t^{'}+\frac{vx^{'}}{c^{2}} \right )$

 

5.2. 길이 수축의 유도 과정

• S′에서 정지한 물체의 양 끝점 :  $x_{1}^{'}, \, x_{2}^{'}$​
• 고유 길이 : $L_{0}=x_{2}^{'}-x_{1}^{'}$​
• S에서 물체는 속도 v로 움직인다.
  동시에 길이 측정 : $t_{1}=t_{2}=t$

역변환을 사용해 S에서 측정된 좌표

 

$x_{1}=\gamma (x_{1}^{'}+vt_{1}^{'}), \quad x_{2}=\gamma (x_{2}^{'}+vt_{2}^{'})$

 

따라서 S에서 측정된 길이

 

$L=x_{2}-x_{1}=\gamma (x_{2}^{'}-x_{1}^{'})+\gamma v(t_{2}^{'}-t_{1}^{'})$

 

이제 동시성의 상대성을 적용한다.
S에서 측정된 두 사건이 동시에 일어났다는 조건에서,

 

$t_{2}^{'}-t_{1}^{'}=-\frac{v(t_{2}^{'}-t_{1}^{'})}{c^{2}}$

​

이를 대입하면

 

$L=\gamma (x_{2}^{'}-x_{1}^{'})\left ( 1-\frac{v2}{c^{2}} \right )$

 

$L=\gamma L_{0}\cdot \frac{1}{\gamma ^{2}}=\frac{L_{0}}{\gamma }$

​​

결과적으로,

 

$L=L_{0}\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}$

​​

길이 수축 공식이 유도되었다.

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6. 동시성의 상대성: 핵심 개념

동일한 시점에 발생한 사건이라 해도 관찰자의 속도에 따라 서로 다른 시간으로 측정된다. 즉,

• A 기준계에서 동시에 일어난 두 사건이
• B 기준계에서는 서로 다른 시간에 일어난 것처럼 보일 수 있다.

길이 수축 측정에서 중요한 건,
지구 기준계에서는 앞뒤를 동시에 측정해야 하지만,
우주선 기준계에서는 그 측정이 동시에 일어난 것이 아니다.

이 시간차가 결국 지구인이 본 길이 수축의 원인이 된다.

 

이거이 무신말인고 하니 지구에서 날아가는 우주선길이를 잴 때와 우주선안에서 잴 때에는 로렌츠 변환에 따른 시간좌표가 변하여 같은 시각 t 이더라도 공간좌표 x가 다르면 t'이 달라진다는말이다 잉 ....