기본적인 연산

내적 (Inner product)

Vector analysis 에서 마니한거. 그거 그건데 Dirac notation 으로 맨날 쓰는거만 간단하게 정리하면

 

선형성(Linearity)

$ < A\mid \beta B> =\beta < A\mid B>$     $\beta$는 복소수상수

$<A \mid (aB+cC)> =a< A\mid B> +c< A\mid C> $

 

반선형성(antilinear)

$< \beta A\mid B> =\beta ^{\ast }< A\mid B> $

 

켤레 대칭성(Complex Conjugate Symmetry)

$< \phi  \mid \psi > =< \psi \mid \phi > ^{\ast }$

 

정규화(Normalization)

어떤 상태 $\mid \psi >$가 정규화되어 있다면, 자기 자신과의 내적은 1이 된다.

$< \psi \mid \psi  >=1$

 

직교성(Orthogonality)

서로 직교하는 두 상태 $\mid \psi >$ 와 $\mid \phi >$  의 내적은 0이다.

$< \psi \mid \phi   >=0$

 

기대값(expectation value)

양자역학에서는 연산자$\hat{A}$가 상태 벡터 $\mid \phi >$ 에 작용할 수 있으며 이에 대한 기대값은 다음과 같이 정의된다.

$< \psi \mid \hat{A}\mid \psi   >$

 

주사위를 한번 던졌을 때 어떤 눈 하나가 나올 확률은 1/6

그러며는 주사위 값의 기댓값은 올매냐? {(각 눈의 값) × (눈이 나올 확률)}의 합이다

즉 (1×1/6) + (2×1/6) + (3×1/6) +(4×1/6) +(5×1/6) + (6×1/6) = 3.5

요걸 뭐라고들 하냐 하면

확률분포에 대한 위치중심(무게 중심)으로 기대 되는 값 요러코럼 하면 이해가 좀 되것지럴 ...

또 양자역학에선 요러케 많이 쓰더라

어떤 상태 Ψ와 연산자 Q가 있을때 Ψ의 Q값의 평균

 

예)를 한번들어보자

수소의 전자 이눔이 1s에 있을 때가 핵으로부터 거리에서 평균이라면 Ψ1s 와 위치연산자 r에 대한 기대 값은

$< \psi \mid Q\mid \psi >=\int \psi ^{\ast }(Q\psi )dv$

 

또 확률변수 X의 확률분포 함수가 f(x)일때 X의기대값 E(X)는

이산확률변수는     $E(X)=\sum_{x} x\cdot f(x)$

 

연속확률변수는     $E(X)=\int_{-\infty }^{\infty }x\cdot f(x)dx$

 

교환자 (Commutator)

상태함수 Ψ에 대해 어느 물리량을 먼저 측정 하느냐에 따라 결과가 다르게 나온다. 그렇다 예를 들어 미분연산자 d/dx와 x를 곱할때 순서를 달리허면 값이 당근 다르지 즉

 

$\frac{d}{dx}x\neq x\frac{d}{dx}$

어떤함수 $f(x)$에 대하여

 

좌변     $(\frac{d}{dx}\cdot x)f(x)=\frac{d}{dx}(xf(x))=f(x)+xf^{'}(x)$

 

우변     $\left ( x\cdot \frac{d}{dx} \right )f(x)=x\cdot f^{'}(x)$

 

요렇게 서로 다르지

 

이와 같이 두 물리량의 곱셈에서 연산자의 교환법칙은 성립하지 않는다, 연산자의 곱하는 순서를 달리한 값의 차이는 일반적으로 0이아닌데 그 차이를 교환자라한다.

 

두 연산자 $\hat{A},  \hat{B}$ 에 대한 교환자 (Commutator)의 정의

 

$[\hat{A}, \quad \hat{B}]= \hat{A} \hat{B}-\hat{B} \hat{A}$

 

어떤 두연산자  $\hat{A},  \hat{B}$ 의 교환자가 0이면 이 두 연산자는교환가능(commutable)하다고 한다.

 

$[\hat{A}, \quad \hat{B}]= 0$  이면 $\hat{A} \hat{B}=\hat{B} \hat{A}$

 

교환가능한 연산자는 공통의고유 함수를가진다

$\hat{A}$의 고유함수를 $\psi (x) $ 라 하면 $\hat{A}\psi (x)=a\psi (x)$  요것을 $\hat{B}$에 걸어 주면

 

$\hat{B}\hat{A}\psi (x)=a \hat{B}\psi (x)=\hat{A} \hat{B}\psi (x)$ 이므로

 

$\hat{B}\psi (x)$ 도 $ \hat{A}$ 의 고유함수이다.

 

만일 $ \psi (x)$ 가축퇴되어 있지 않다면 $\hat{B}\psi (x)=b\psi (x)$ 로 고유함수가 된다. 축퇴일 경우는 더 고려해야하는데 여기서 요렇다는 정도만 알고 통과 ㅠㅠ

 

증명은 생략한다.