연산자

양자역학에서는 연산자(operator)를 사용하여 물리량(관측 가능한 양)을 수학적으로 다룬다. 이 연산자들은 파동함수(wavefunction)에 작용하여 관측값을 계산할 수 있게 해준다. 주요 연산자들과 그 의미를 정리해 보면

 

위치연산자( Position Operator)

기호 ; $\hat{x}$

쓰임 ; 입자의 위치를 나타내는 변수

예시 ; $\hat{x}\psi (x)=x\psi (x)$     위치 공간에서 이런 형태로 표현된다.

 

운동량 연산자 (Momentum Operator)

기호 ; $\hat{p}=-i\hbar\frac{d}{dx}$

쓰임 ; 입자의 운동량을 나타낸다.

예시 ; $\hat{p\psi } (x)=-i\hbar\frac{d}{dx}\psi (x)$

보충 ; $\hbar$=$(\frac{h}{2\pi }) $ (플랑크상수h의 감소된 값을 나타낸다)

 

에너지 연산자 (Hamiltonian)

기호 ; $\hat{H}$

쓰임 ; 전체 에너지를 나타내며 위치와 운동연산자로 표현됨

예시 ; $\hat{H}=\frac{\hat{p}^{2}}{2m}+V(x)=-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}}{dx^{2}}+V(x)$

 

각운동량 연산자 (Angular Momentum Operator)

기호 ; $\hat{L}_x$, $\hat{L}_y$, $\hat{L}_z$

쓰임 ; 회전운동을 설명하는 연산자

예시 ; $\hat{L}_{z}=-i\hbar\left ( x\frac{\partial }{\partial y}-y\frac{\partial }{\partial x} \right )$     (z방향)

 

스핀 연산자 (Spin Operator)

기호 ; $\hat{S}_x$, $\hat{S}_y$, $\hat{S}_z$

쓰임 ; 입자의 스핀을 나타내는데 고전적인 개념은 없고 순전히 양자역학적 성질이다.

예시 ; $\hat{S}_{z}=\frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix}1 &  0\\0 &  -1\\\end{pmatrix}$     (스핀-1/2 입자에서 $\hat{S}_z$)

 

허미션 연산자(Hermitian operator)

어떤 state vector A, B 에 대하여 < B l Q l A > = < A l Q l B >* 를 만족하면 Q를 허미션 연산자라고 한다.

또 $\hat{A}$ 가 허미션(Hermitian) 이라는 것은 다음 조건을 만족한다는 뜻이다.

$< \phi \mid \hat{A}\psi > =< \hat{A}\phi \mid \psi > $

임의의 행렬 A가 있을 때 $A^\dagger$를 A의 허미션(Hermitian)이라고 한다.

행렬에서 $A^\dagger$ 는 A transpose 그라고 Complex conjugate를 취해주면 되었잔냐? 맞지

그거 Adjoint 행렬이라고 부르는거

 

물리량(관측값)은 항상 실수(real number)이다.

허미션 연산자는 고유값(eigenvalue)이 항상 실수이다.

따라서, 에너지, 운동량, 위치, 스핀 등 모든 관측 가능한 양은 허미션 연산자로 표현된다.

 

허미션 연산자(Hermitian operator)의 기대값(고유값 Eigen value)은 항상 실수(Real number)이다. 맞을까?

요건 증명해봐야 것지

A는 허미션 행렬이다. 응 그라자고 하자고

그라면 A의 기댓값은

 

A의 기댓값은

 

$< A> =\int \psi ^{\ast }A\psi dx=< \psi \mid A\psi > $

 

$ < \psi \mid A\psi > -< \psi \mid A\psi > ^{\ast }=0$  이면 실수잖아 맞지! ok?

 

$ < \psi \mid A\psi > ^{\ast }$ $=< A\psi \mid \psi > $

 

                        $=\int (A\psi )^{\ast }\psi dx$

 

                        $=\int \psi ^{\ast }A^{\ast }\psi dx$

 

                        $=\int \psi ^{\ast }A\psi dx$ (A는 허미션연산자이니까  $A^\dagger$ =A)

 

                        $= < \psi \mid A\psi >$

 

요러케해서 맞지? 웅!

 

근데 말이여 증명할것도 없이 원래 켤레가 같은 복소수는 실수 뿐이잔여!!

아 하 (바보도터는 소리) ㅋㅋ맞다 A~C 손구락만 견고생

양자역학의 모든 연산자는 Hermitian Operator 이다. 라고 하는데 당연 그래야 할거 같지 않냐?

물리량이 실수여야지 허수이면 의미가 없잔냐?

허수인 물리량을 어따 쓰게

그니까

 

일단 요까지만 하고 또 생각나면 나중에 추가 하기로 하자잉 ....

그라고 연산자교환관계는 담에 자세히 별도로 다루기로 한다잉