양자역학의 기본이 되는 슈뢰딩거방정식에서 𝜓는 파동 함수(wave function)를 나타내는데 이 파동함수의 제곱인 $\left | \psi (x,t)\right |^{2}$는 특정한 위치 𝑥에서 입자가 발견될 확률 밀도(probability density)로 해석한다. 따라서 우리는 확률밀도함수에 대한 기본적인 개념을 잘 이해하고 있어야 한다.
확률은 어떤 사건이 발생할 가능성을 수치적으로 나타내는 개념이다. 기본적으로 확률은 0과 1 사이의 값을 가지며, 0은 사건이 절대 발생하지 않음을, 1은 사건이 반드시 발생함을 의미한다.
확률을 계산하는 일반적인 방법은
사건 A의 확률 𝑃(𝐴)는 다음과 같이 정된다.
예를 들어 주사위를 던졌을 때 4가 나올 확률은 다음과 같다.
사건 A: 주사위를 던져서 4가 나오는 경우
가능한 경우의 수: 1, 2, 3, 4, 5, 6 (총 6가지)
따라서,
$P(A)=\frac{1}{6}$
수학적으로 정의한 확률을 이해하려면 다음 용어에 대한 이해도 필요하다.
⚬ 확률 표본
⚬ 표본공간
⚬ 사건
확률표본; 주사위를 던질 때 나올 수 있는 숫자 하나 하나 즉 1~6까지의 1,2,3,4,5,6 숫자 하나 하 나가 확률 표본이다. 동전 두 개를 함께 던질 때 나올 수 있는 것 "앞앞" "뒤뒤" "앞뒤" "뒤앞" 요것.
표본공간; 실험이나 관찰을 통해 발생할 수 있는 모든 가능한 결과들의 집합을 말하는데 주사위에서 나올 수 있는 모든 경우의 수, 표시하면 S={1,2,3,4,5,6}, 동전은 S={"앞앞","뒤뒤", "앞뒤","뒤앞"}
와 같이 집합(S)로 표시한다.
사건; 특정 조건을 만족하는 결과의 집합, 주사위를 던져서 짝수를 얻는 사건은 {2,4,6} 이다.
확률변수에 대해서도 알아보면,
확률변수(random variable)는 확률론에서 실험의 결과를 수치로 나타내는 함수이다. 즉, 확률변수는 표본공간의 각 결과 하나하나가 도출될 수 있는 어떤 값(x)로 크게 두 가지로 나눌 수 있다.
이산 확률변수 (Discrete Random Variable)
특정한 값을 가질 수 있는 확률변수이다.
주사위를 던졌을 때 나오는 숫자는 이산 확률변수이다. 이 경우 가능한 값의 집합은 {1,2,3,4,5,6}
연속 확률변수 (Continuous Random Variable)
확률변수를 하나하나 개별적으로 표시할 수 없고 특정구간 내의 연속된 모든 값을 가질 수 있는 값을 말 한다. 예를 들어, 사람의 키와 같은 연속적인 실수값을 가지는 경우가 있다. 이 경우 가능한 값은 특정 범위(예: 150cm에서 200cm 사이의 모든 값)이다.
확률분포는
한번 주사위를 던지면 {1,2,3,4,5,6}에서 반드시 어떤 수 하나가 나오는데 어떤 수 가 나올 확률은 각 수마다 모두 1/6씩 같다. 이때의 1/6이 확률분포이다. 동전 두개를 한꺼번에 던지면 "앞앞"이 나올 확률 25%, "뒤뒤"가 나올 확률 25%, "앞뒤" 나올 확률은 50%(앞뒤나 뒤앞이나)인데 이 각각의 비율을 나타내는 25%, 25%, 50% 이것이 확률분포다. 확률분포에도 이산확률분포와 연속확률분포가 있다.
이산확률분포: 확률변수가 나누어진 값, 즉 구슬 1개, 2개, 3개 이렇게 자연수로 셀 수 있는 이산적인 값을 가지는 확률분포 값을 말하는데 이것은 확률질량함수로 표현 한다.
[간단하게 예를 들어 정리해 보면]
동전을 두번 던져서 그림이 나오는 경우의 수를 x 라 할 때
x 가 취할 수 있는 값은 x=0, x=1, x=2
이산확률분포표
x 0 1 2 => 확률변수
P(x) 1/4 1/2 1/4 => 확률
x x1 x2 x3 .......... xn
P(x) P1 P2 P3 .......... Pn P(x) : 확률질량함수
이산질량함수의 성질
이산확률변수 X의 이산확률함수가 P(X=xi) = pi (i=1,2,3 ....)일때
- 확률은 0이상 1이하의 값을 가진다
$0\leq P_{i}\leq 1$
- 사건이 발생할 확률의 총합은 1이다.
$P_{1}+P_{2}+P_{3}+ ...... +P_{n}=1$ 이것은 $\sum_{k=1}^{n}P_{i}=1$ 이렇게도
- 확률변수x가 어떤 범위내에 있을 확률은
$P\left [ x_{i\leq X\leq X_{j}} \right ]=P_{1}+P_{i+1}+P_{i+2}+ ...... +P_{j}$
$\sum_{k=i}^{j}P(X=x_{k})=\sum_{k=i}^{j}P_{k}$ (단 $i\leq j$)
기초부터 웬만큼 까지는 알고 가야 할 듯해서
보기를 이용해서 깔끔하게 정리하고 잘 이해하자 ㅠㅠ
예제) 빨간 공 4개와 파란 공 3개가 들어 있는 주머니에서 임의로 3개의 공을 꺼낼 때 나오는 빨간 공의 개수를 확률변수 X라고 하자. 이때
1. X의 확률질량함수를 구하고,
2. X의 확률분포를 표로 나타내고,
3. 빨간 공을 2개 이상 꺼낼 확률을 구해보자.
1. 전체 가능한 경우의 수 즉 공의 총수에서 3개를 뽑는 경우의 수는
$_{n}C_{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}$ 에서
$_{7}C_{3}=\frac{7\times 6\times 5\times 4!}{3!(4)!}=\frac{7\times 6\times 5}{6}=35$
각각의 경우의 수를 구해보자
빨간공을 하나도 뽑지못하고 모두 파란공을 뽑는 경우의 수는
$_{4}C_{0}\cdot _{3}C_{3}=1$
빨간공을 1개 뽑고, 파란공을 2개 뽑는 경우의 수는
$_{4}C_{1}\cdot _{3}C_{2}=12$
빨간공을 2개 뽑고, 파란공을 1개 뽑는 경우의 수는
$_{4}C_{2}\cdot _{3}C_{1}=18$
빨간공을 3개 뽑고, 파란공을 0개 뽑는 경우의 수는
$_{4}C_{3}\cdot _{3}C_{0}=4$
여기서 경우의 수를 구하는 계산을 일반화 하면
$_{4}C_{x}\cdot _{3}C_{3-x}=A$
확률질량함수를 구해보면
P(A) = 사건A가 발생하는 경우의수/전체가능한 경우의수 에서
$P(X=x)=\frac{_{4}C_{x}\cdot _{3}C_{3-x}}{_{7}C_{3}} (x=0,1,2,3)$
이렇게 구할 수 있겠다.
2. 확률 분포를 표로 나타내 보면
| x | 0 | 1 | 2 | 3 | 합계 |
| $P(X=x)$ | $\frac{1}{35}$ | $\frac{12}{35}$ | $\frac{18}{35}$ | $\frac{4}{35}$ | 1 |
3. 빨간공 2개이상을 뽑을 확률은
$P(X=x)=\frac{_{4}C_{x}\cdot _{3}C_{3-x}}{_{7}C_{3}} (2\leq x)$ 일 때이다.
$\frac{18}{35}+\frac{4}{35}=\frac{22}{35}$
다음편에 계속 ......
