파동의 이해

양자역학을 공부하는데 있어 물질이 입자와 파동의 성질을 동시에 지니는 이중성에 대한 이해는 필수 불가결한 사항이다. 특히 파동에 대한 기본개념을 이해하고 있지 않으면 양자역학을 공부하기가 거의 불가능하다고 해야 할 것이다.

 

파동을 수학적으로 이해하는 가장 기본적인 원운동과 단순 조화진동자의 사인파로 접근해보자

사인파를 간단하게 수식으로 표현하면

$y(\theta )=sin(\theta )$

 

사인파의 진폭(A=2로 두고)을 함께 표시하면

$y(\theta )=2sin(\theta )$

 

특정 시간에서 위상$(\phi=\pi /4)$ 을 또 같이 표현하면

$y(\theta )=2sin(\theta -\frac{\pi }{4})$

 

시간(t)의 변화에 따른 운동을 나타내는 파동식으로 나타내면

$y(t)=Asin(\omega t-\phi )$

 

공간의 변화 즉 진행 방향의 변화에 따른 운동을 나타내는 파동식은

$y(x)=Acos(\omega t-\phi )$인데,

$y(x)=Asin(kx-\phi ) $로 바꾸어 쓸수 있다.

왜냐하면 주기는 시간 영역에서의 주기적인 변화를 나타내며, 파장은 공간 영역에서의 주기적인 변화를 나타낸다. 예를 들어, 한 주기(T)동안 물체가 완전한 진동을 완료하고, 한 파장(λ) 동안 파가 완전한 주기를 완료한다면 같은 속도에서는 같은 의미를 지니는 것이다. 또 물리적으로, 파동의 속도(v)는 주기와 파장의 관계로 설명될 수 있다. 이 속도는 또한 각속도와 파수와의 관계로 다음 식과 같이 표현될 수 있음으로 해서이다.

$v=\frac{\lambda }{T}=\frac{\omega }{k}$

$cos\theta =sin(\theta +\pi /2)$즉, 코사인함수와 사인함수는 단순히 위상 차이만 나타낼 뿐이므로 서로 변환할 수 있다. 또 초기위상 φ는 임의의 위치이므로 주어진 파동이 시간과 공간에서 주기적으로 같이 변화 한다면, 위치x와 시간t 사이의 관계를 통해 다음 식과 같이 표현할 수 있다.

$y(x,t)=Asin(kx-\omega t)$

 

또 단순조화운동을 뉴턴의 제2법칙과 후크의 법칙으로 결합한 미분방정식으로 풀어 코사인 함수로 나타낸 2차 상미분 방정식의 일반해는 다음과 같은 형태를 보이므로 동일한 결과를 얻을 수 있다.

$x(t)=Acos(\omega t+\phi )$

따라서 파동 문제를 해결할 때, 우리는 편의를 위해 사인 함수나 코사인 함수 중 하나를 임으로 선택하여 표현할 수 있다.

 

자! 그러면 1차원 파동방정식 가장 간단한 방법으로 유도해보자

$y(x,t)=Asin(kx-\omega t)$

 

$\frac{\partial y}{\partial x}= kAcos(kx-\omega t)$

 

$\frac{\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}=-k^{2}Asin(kx-\omega t)$   ----------   ①

 

$\frac{\partial y}{\partial t}=-\omega Acos(kx-\omega t)$

 

$\frac{\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}=-\omega ^{2}Asin(kx-\omega t)$   ----------   ②

 

(①×$\frac{1}{k^{2}}$)-(②×$\frac{1}{\omega ^{2}}$

 

$\left\{ \frac{1}{k^{2}}\frac{\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}=-Asin(kx-\omega t)\right\}-\left\{ \frac{1}{\omega ^{2}}\frac{\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}=Asin(kx-\omega t)\right\}$

 

$\frac{1}{k^{2}}\frac{\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}-\frac{1}{\omega ^{2}}\frac{\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}=0$

 

$\frac{\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}-\frac{k^{2}}{\omega ^{2}}\frac{\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}=0$

 

$\frac{\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}-\frac{1}{v ^{2}}\frac{\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}=0$