19세기 말 독일 제국은 알자스-로렌 지방에서 제철 공업을 일으켰다. 강철을 만드는 과정에서 철광석을 코크스 등으로 연소시켜서 고온으로 만들 때 그 빛깔로 온도를 파악하려 했다. 붉은 색보다 파란색일 때 온도가 더 높다는 것은 경험적으로는 알았지만, 빛깔과 온도와의 관계에 대한 이론적인 설명이 필요해졌다. 쇳물 만드는데 그냥 녹을 때까지 퍼부으면 안되나 싶겠지만, 온도가 낮으면 철광석의 산화철에서 산소가 빠져나오지 못해 저질의 철이 되며, 너무 높으면 고온에서 폭발적으로 반응하는 산소의 특성상 다시 산화철이 되기 때문에 철 원자에서 산소만 뽑아내는 매우 정밀한 온도 조절이 필요하다. 그리고 강철이 굳은 뒤에 다시 가열하여 원하는 물성을 얻는 열처리 과정에서도 정밀한 온도 조절이 필요하다. 즉, 조금이라도 더 세밀한 온도 조절을 위해 흑체복사 이론이 태동했다는 것이다. 이러한 관계에 대한 연구를 하던 독일 하이델베르크 대학의 물리학자 구스타프 키르히호프는 흑체라는 이상적인 물체를 가정하고, 흑체가 방출하는 복사의 세기가 오로지 흑체의 온도와 빛의 파장, 두 요인에 의해서만 결정된다는 것을 밝혀냈다. 이로부터 주어진 온도에서 모든 파장 범위에 해당하는 흑체복사 스펙트럼 분포를 실험을 통해 알아내고, 또한 그 결과를 공식으로부터 알아내는 것이 한동안 당대 물리학자들을 괴롭힌 ‘흑체복사 문제’로 남게 되었다.
1864년에 존 틴들이 발표한 “보이는 복사와 보이지 않는 복사에 대하여”의 실험 데이터를 바탕으로, 1879년에 오스트리아령 슬로베니아 출신의 요제프 슈테판이 열복사의 세기가 절대온도의 네제곱에 비례한다는 것을 귀납적으로 발견해서 보고하였고, 이후 오스트리아 제국의 루트비히 볼츠만이 1884년에 발표한 “빛의 전자기학 이론을 바탕으로 한 슈테판 법칙, 열복사의 온도 의존성 유도”를 통하여 이것이 참임을 증명하였다. 이 법칙이 슈테판-볼츠만 법칙이다. 이어서 빈의법칙, 레일리-진스의 법칙이 발표 되었으나 아래 그림과 같이 실험 결과와 일치하지 않는 문제가 있었는데 막스 플랑크가 이것을 해결하였고 여기서 플랑크 자신도 인식하지 못하는 가운데 양자라는 개념이 도입되었던 것이었다.
이제 양자라는 개념이 출현하는 플랑크의 법칙에 대해 알아보자.
플랑크는 1900년 10월과 12월에 발표한 두 논문 “빈의 스펙트럼 방정식의 개선에 대하여”와 “정상 스펙트럼에서 에너지 분포 법칙의 이론에 대하여”에서 빈의 법칙이 통계역학적 관점에서 엔트로피 ( S )와 에너지 ( U )가 다음 특성을 따른다는 것을 발견하였다. 엔트로피와 에너지의 관계는 엔트로피 ( S )가 에너지 ( U )의 함수로 표현될 수 있으며, 이 두 변수 사이의 관계는 다음과 같다.
S=klnΩ
여기서 (\Omega )는 주어진 에너지를 가진 상태의 수를 나타낸다.
또한, 에너지 분포의 양자화로 인해 에너지가 연속적인 값이 아닌 양자화된 값으로 존재한다고 가정하였다. 즉, 에너지는 다음과 같은 양자 단위로만 존재할 수 있다는 가정이다.
En =nhν 여기서 (n)은 자연수, (h)는 플랑크 상수, (ν)는 주파수다.
통계역학적 접근은 에너지의 양자화가 통계역학적 분포에 영향을 미친다고 보고 고전적인 통계역학의 원리를 적용하여 가능한 에너지 상태들의 점유 확률이 볼츠만 분포를 따른다고 제안했다.
$P_{n}=\frac{e^{-E_{n/kT}}}{Z}$
이러한 가정들을 바탕으로 플랑크는 특정 온도(T)에서의 복사 강도를 다음과 같은 흑체복사법칙으로 도출했다. 이렇게
$I(\nu,T)=\frac{8\pi h\nu ^{3}}{c^{3}}\cdot \frac{1}{e^{h\nu /kT}-1}$
매우 중요한 식이니까 유도해 본다.
이 육면체가 열적 평형상태를 이루고 있는 흑체라고 하자 그러면 상자 속의 전자기파는 연속적인 중첩에 의해 방향이야 어떻든 서로 마주 보는 벽의 두 점을 마디로 하는 정상파를 만들 것이고, 그렇게 되면 이 전자기파는 반파장의 정수배를 가지는 것이 되겠다. 당연히, 아래와 같이
이 그림을 가만히 보면
$L_{n}=\frac{\lambda }{2}n$, 그러면 $\lambda =\frac{2L}{n}$ 이것을 주파수K로 나타내면 $K=\frac{2\pi }{\lambda }$ 이니까 $K=\frac{n\pi }{L}$ 인데 파동의 파수(k)는 파동의 공간적 변화를 나타내는 물리량이다. 따라서 3차원 공간의 벡터로 분해할 수 있으므로 그림 육면체의 세축을 기준으로 나타내면 (고정된 경계 조건으로 L=1)
$K_{x}A=n\pi (n=1,2,3,......)$
$K_{y}B=m\pi (m=1,2,3,......)$
$K_{z}C=l\pi (l=1,2,3,......)$ 요렇게 방향별로 나타낼 수 있을 것이고
총파수는
$K_{x}^{2}+K_{y}^{2}+K_{z}^{2}=K^{2}$
$(\frac{n\pi }{A})^{2}+(\frac{m\pi }{B})^{2}+(\frac{l\pi }{C})^{2}=(\frac{\omega }{c})^{2}$ <= $(K=\frac{2\pi }{\lambda }=\frac{2\pi f}{c}=\frac{\omega }{c})$
$\frac{n^{2}}{(\frac{A\omega }{\pi c})^{2}}+\frac{m^{2}}{(\frac{B\omega }{\pi c})^{2}}+\frac{l^{2}}{(\frac{C\omega }{\pi c})^{2}}=1$ <= $\times(\frac{c^{2}}{\omega ^{2}})$
이렇게 타원체 방정식으로 나타나는데,
분자(n,m,l)은 타원체의 각 축 방향으로의 거리의 제곱이고,
분모는 각각의 방향에서의 반장축 길이의 제곱을 나타낸다.
이 식은 3차원 공간에서의 양자화된 파동 모드의 파수 성분이 서로 결합하여 단위 구면의 형태를 이루어야 한다는 것을 의미하는데 경계 조건이 고정(x,y,z)되어 모두 음수와 양수로 나뉘어 대칭성이 성립하므로 구체의 1/8로 제한된 경우를 나타내고 있다.
여기서 총 모드(mode)수 N(ω)를 구해보면
$N(\omega )=\frac{4\pi }{3}(\frac{A\omega }{\pi c})(\frac{B\omega }{\pi c})(\frac{C\omega }{\pi c})\times \frac{1}{8}\times 2=\frac{ABC\omega ^{3}}{3\pi ^{2}c^{3}}$
이식에서 ‘×2“는 전자기파가 자기장과 전기장이 서로 직각으로 교차진동하며 진행하는 자유도이다.
그런데 구하고자 하는 것은 각진동수(ω)가 아니고 진동수(ν)이므로 ν에대한 관계식으로 바꾸어보면 단위체적은 ABC=1, ω=2πν 이니까
$N(\nu )=\frac{8\pi \nu ^{3}}{3c^{3}}$
미소 구간 진동수 즉 ν 와 ν+dν 사이의 값을 구하기 위해 위 식을 미분하면
$N(\nu )d\nu =\frac{8\pi \nu ^{2}}{c^{3}}d\nu $
다음은 계의 평균 에너지를 구해보자
$<E>=\frac{\sum_{n=0}^{\infty }E_{n}f_{n}}{\sum_{n=0}^{\infty }f_{n}}$
여기서$f_{n}$은 Boltzmann 분포에서 특정 에너지 상태 $E_{n}$에 있는 입자의 확률이고, $E_{n}$은 플랑크가 에너지 분포의 양자화로 에너지가 연속적인 값이 아닌 양자화된 값으로 존재한다고 가정한 값이다.
$f_{n}=e^{-\frac{E_{n}}{kT}}$ , $E_{n}=nh\nu $ (h는 플랑크상수), $1/kT=\beta $로 두고 처음식에 대입하여 정리하면
$<E>=\frac{\sum_{n=0}^{\infty }nh\nu e^{-nh\nu \beta }}{\sum_{n=0}^{\infty }e^{-nh\nu \beta }}$
분모 분자에 자연로그를 취하고 분모를 Z, 분자를 S라고 하면
$Z=\sum_{n=0}^{\infty }e^{-nh\nu \beta }$
이것은 기하급수 수열의 형태로, 수렴 조건이 $e^{-h\nu \beta } <1$ 일 때 성립한다. 따라서,
$Z=\sum_{n=0}^{\infty }e^{-nh\nu \beta }=\frac{1}{1-e^{-h\nu \beta }}$ (n은 0~∞ 까지 수열을 나타내는 것이므로)
분자를
$h\nu \sum_{n=0}^{\infty }ne^{-nh\nu \beta }$로 바꾸고
$S=f(x)=\sum_{n=0}^{\infty }ne^{-nx}$ $(x=h\nu \beta )$로 두면
$S=f(x)=\frac{1}{1-e^{-x}}$로 되겠지
$f(x)$를 x에대하여 미분하면
$S=f^{'}(x)=\frac{e^{-x}}{(1-e^{-x})^{2}}$
양변에 x를 곱하고 $x=h\nu \beta$를 대입하여 차례로 계산하면
$S=x\cdot f^{'}(x)=x\cdot \frac{e^{-x}}{(1-e^{-x})^{2}}=h\nu \beta \cdot \frac{e^{-h\nu \beta }}{(1-e^{-h\nu \beta })^{2}}$
분자의 첫식 $h\nu$를 고려하고 분모분자를 결합하여 <E>를 계산하면
$<E>=\frac{h\nu \cdot \frac{h\nu \beta e^{-h\nu \beta }}{(1-e^{-h\nu \beta })^{2}}}{\frac{1}{1-e^{-h\nu \beta }}}=\frac{h\nu e^{-h\nu \beta }}{1-e^{-h\nu \beta }}$
분자분모에 $e^{h\nu \beta }$를 곱하면 $ \frac{h\nu }{e^{h\nu \beta }-1}$
복사에너지의 세기는 $ u(\nu ,T)=\frac{8\pi \nu ^{2}}{c^{3}}<E>$로 정의 되니까
$u(\nu ,T)=\frac{8\pi \nu ^{2}}{c^{3}}\frac{h\nu }{e^{h\nu \beta }-1}$
$ =\frac{8\pi h\nu ^{3}}{c^{3}}\frac{1}{e^{h\nu /kT}-1}$
이렇게 플랑크의 복사법칙이 유도되는 과정에 도입된 h가 양자의 개념이 되었다.
