제1장 파동함수 ...... 1.4 규격화

규격화(Normalization)>

 

거의 정설로 받아 들여지고 있는 파동함수의 통계학적 해석이 이눔 $\left | \Psi  ( x,t)\right |^{2}$의 의미가 시간t 일 때 위치 x에서 입자를 발견할 확률밀도 이다. 라는 거 아니 것어 ㅡ.ㅡ

그러면 $\left | \Psi  ( x,t)\right |^{2}$ 요거슬 전체 영역에서 적분하면 1이 되어야 것네.

입자는 어디엔가는 반듯이 있을 테니까 맞지? 응 그래 맞아 그라면

 

$\int_{-\infty }^{\infty }\left | \Psi  ( x,t)\right |^{2}dx=1$

 

그러면 이식도 당연하겠고

그런데 말이지 파동함수 $\Psi $ 라는것이 슈뢰딩거방정식에 의해 나오는 해이지 즉

 

$i\hbar\frac{\partial \Psi }{\partial t}=-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial ^{2}\Psi }{\partial x^{2}}+V\Psi $

 

이눔의 한 해가 $\psi (x,t)$ 일 경우 $A\psi (x,t)$ 도 해가 된다.(A는 임의의 복소 상수) 맞지

그러니까 슈뢰딩거 방정식을 만족할 해는 바로위 적분식을 반드시 만족해야하고 만약 상수A가 슈뢰딩거 방정식 만으로 결정되지 않으면 상수A를 적절히 잡아서 구워서 삶아서 저위에 적분식님의 입맛에 딱 맞도록 해 드려야 한다. 요렇게 하는 것을 파동함수의 규격화, normalization이라구 한다.

 

그런데 어떤 경우 전영역에서 적분하면 ∞ 요게 나오거나 0이가 나와서리 A를 어떻게 잡아도 규격화가 불가능 한경우가 생기는데 요때는 입자의 상태를 나타낼수가 없으니까 쓰레기통으로 내버려야 한단다. 똑 바른 말로 해서 슈뢰딩거방정식의 해 중에서 규격화가 가능한 눔만이 물리적으로 의미가 있는것이다. 기래서 규격화가 않되면 의미가 없으니까 내다 버린단다. ok

 

잠깐 스톱 !!!

시간 t=0에서 파동함수 Ψ가 규격화 대따 치자

그라면 시간이 흐르는 동안은 우찌되노? 규격화가 유지되나? 아니면 다시 규격화해야 되나?

먼저 시간에 따른 재규격화는 않된다. 왜냐면 시간에 따라 재규격화를 계속하면 상수A가 시간에 따른 함수가 되잖아 그람 $A\psi $ 가 슈뢰딩거 방정식의 해가 않되지. 흠~~ 그렇군아

 

파동함수는 한번 규격화되면 슈뢰딩거 방정식에 의해 시간에 따라 변하더라도 규격화상태가 자동으로 유지된다. 이결정적인 성질이 없었다면 슈뢰딩거방정식은 통계학적 해석과 맞지않게 되어 그라면 양자역학 이론은 완존히 엿될뻔 해따 라고 .........중요 중요 중요

 

말로만 ????. 아니지 수학적으로 증명해야지! 오또케 ? 아래와 같이

 

$\left | \Psi \right |^{2}$ 가 규격화 되었다고 가정하면

 

$\int_{-\infty }^{\infty }\left | \Psi  \right |^{2}dx=1$     이 식을 만족한다 이말이지.

 

$\frac{d}{dt}\int_{-\infty }^{\infty }\left | \Psi  \right |^{2}dx=0$          이렇고 ok?

 

자! 자! 자! 가 보드라고잉

 

$\frac{d}{dt}\int_{-\infty }^{\infty }\left | \Psi  \right |^{2}dx=\int_{-\infty }^{\infty }\frac{\partial }{\partial t}\left ( \left | \Psi \right | ^{2}\right )dx$

 

                          $=\int_{-\infty }^{\infty }\frac{\partial }{\partial t}\left ( \left | \Psi^{\ast }\Psi  \right | \right )dx$

 

                          $=\int_{-\infty }^{\infty }\left ( \frac{\partial \Psi ^{\ast }}{\partial t}\Psi +\Psi ^{\ast }\frac{\partial \Psi }{\partial t} \right )dx$         .................................................................... ①

 

$i\hbar\frac{\partial \Psi }{\partial t}=-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial ^{2}\Psi }{\partial x^{2}}+V\Psi $ 에서

 

$\frac{\partial \Psi }{\partial t}=\frac{i\hbar}{2m}\frac{\partial ^{2}\Psi }{\partial x^{2}}-\frac{i}{\hbar}V\Psi $        ........................................................................................................ ②

 

$\frac{\partial \Psi^{\ast } }{\partial t}=-\frac{i\hbar}{2m}\frac{\partial ^{2}\Psi^{\ast } }{\partial x^{2}}+\frac{i}{\hbar}V\Psi^{\ast } $         ................................................................................................ ③

 

②, ③ 식을  ①식에 대입 정리하면

 

$\frac{d}{dx}\left ( \int_{-\infty }^{\infty }\left | \Psi \right |^{2} dx\right )=\int_{-\infty }^{\infty }\left ( -\Psi \frac{i\hbar}{2m} \frac{\partial ^{2}\Psi ^{\ast }}{\partial x^{2}}+\frac{i\hbar}{2m}\Psi ^{\ast }\frac{\partial ^{2}\Psi }{\partial x^{2}}\right )dx$

 

                            $=\frac{i\hbar}{2m}\int_{-\infty }^{\infty }\frac{d}{dx}\left ( \frac{\partial \Psi }{\partial x} \Psi ^{\ast }-\Psi \frac{\partial \Psi ^{\ast }}{\partial x}\right )dx$

 

                            $=\frac{i\hbar}{2m}\left [ \frac{\partial \Psi }{\partial x} \Psi ^{\ast }-\Psi \frac{\partial \Psi ^{\ast }}{\partial x}\right ] _{-\infty }^{\infty }$

 

요기서 $x\pm\infty $로 가게 되면 시간이 흘러도 파동함수 $\Psi$는 언제나 0에수렴한다.​

그라니까  한번  규격화 되고나면 그함수는 언제나 규격화된 상태를 유지한다.​

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