제1장 파동함수 ...... 1.5 운동량

어떤 입자의 파동함수(상태함수) Ψ가 있을 때, 이 입자의 위치 x의 기댓값은? 이 말은 이입자가 위치 x에서 발견될 확률은? 이라고물어보는 것과 같다. 글고 다음식으로 나타낸다.

 

$ <x > =\int_{-\infty }^{\infty }x\left | \Psi (x,t)\right |^{2}dx$

 

이것은 입자 한개를 계속 측정해서 평균한 게 아니고(하나를 계속 측정하면 시간이 흐르는데 그라면 Ψ가 변화잖아) 꼭 같은 상태에 있는 입자들로 이루어진 앙상블에 대해서 측정을 반복한 평균을 의미한다. 양자역학에서는 속도가 무엇을 의미하는지 명확하지 않다. 다만 위치의 기댓값을 미분함으로써 속도의 기댓값을 나타내는 공리를 따르는 것뿐이다. .. 측정 이전의 정확한 위치를 알지 못하므로 정확한 속도를 측정할 수 엄따. 맞네 !!! 그렇겠네 !!! 글치 응 ..... 좋아 위치를 미분하면 속도, 그람 위치의 기대값을 미분하면 속도의 기댓값 뭐 말은 맞는 거 같네, 나도 보니까 맞는 거 같네, 다 글타카면 그런거지(?) 는 아니지만 밝혀진 게 요기까지라는데 우짜것노 그라면 <x>미분함 해보자 아~~우 또 손구락에 쥐나것네 ㅋㅋㅋ

 

$\frac{d}{dx}\left [ \int_{-\infty }^{\infty }x\left | \Psi \right |^{2} dx\right ]$ $=\int_{-\infty }^{\infty }x\left [ \frac{\partial \Psi ^{\ast }}{\partial t} \Psi +\Psi ^{\ast }\frac{\partial \Psi }{\partial t}\right ]dx$

 

                                 $=\int_{-\infty }^{\infty }x\left [ \left\{ -\frac{i\hbar}{2m}\frac{\partial ^{2}\Psi ^{\ast }}{\partial x^{2}}+\frac{i}{\hbar}V\Psi ^{\ast }\right\}\Psi +\Psi ^{\ast }\left\{ \frac{i\hbar}{2m}\frac{\partial ^{2}\Psi }{\partial x^{2}}-\frac{i}{\hbar}V\Psi \right\} \right ]dx$

 

                                  $=\int_{-\infty }^{\infty }x\left [ -\Psi \frac{i\hbar}{2m} \frac{\partial ^{2}\Psi ^{\ast }}{\partial x^{2}}+\frac{i}{\hbar}V\Psi ^{\ast }\Psi +\frac{i\hbar}{2m}\Psi ^{\ast }\frac{\partial ^{2}\Psi }{\partial x^{2}}-\frac{i}{\hbar}V\Psi \Psi ^{\ast }\right ]dx$

 

                                  $=\int_{-\infty }^{\infty x} x\left [ -\Psi \frac{i\hbar}{2m}\frac{\partial ^{2}\Psi ^{\ast }}{\partial x^{2}}+\frac{i\hbar}{2m}\Psi ^{\ast }\frac{\partial ^{2}\Psi }{\partial x^{2}}\right ]dx$

 

                                  $=\frac{i\hbar}{2m}\int_{-\infty }^{\infty}x\left [ \frac{\partial ^{2}\Psi }{\partial x^{2}}\Psi ^{\ast  }-\Psi \frac{\partial ^{2}\Psi ^{\ast }}{\partial x^{2}} \right ]dx$

 

                                  $=\frac{i\hbar}{2m}\int_{-\infty }^{\infty}x\frac{d}{dx}\left [ \frac{\partial\Psi }{\partial x}\Psi ^{\ast  }-\Psi \frac{\partial \Psi ^{\ast }}{\partial x} \right ]dx$

 

                                  $=\frac{i\hbar}{2m}\left [ \left | x\left ( \frac{\partial \Psi }{\partial x}\Psi ^{\ast }-\Psi \frac{\partial \Psi ^{\ast }}{\partial x} \right )\right |_{-\infty }^{\infty } -\int_{-\infty }^{\infty }\left ( \frac{\partial \Psi }{\partial x} \Psi ^{\ast }-\Psi \frac{\partial \Psi ^{\ast }}{\partial x}\right )dx\right ]$

 

                                  $=-\frac{i\hbar}{2m}\int_{-\infty }^{\infty }\left [ \frac{\partial \Psi }{\partial x}\Psi ^{\ast } -\Psi \frac{\partial \Psi ^{2}}{\partial x}\right ]dx$

 

                                  $=-\frac{i\hbar}{2m}\left [ \int_{-\infty }^{\infty }\frac{\partial \Psi }{\partial x}\Psi ^{\ast } dx-\int_{-\infty }^{\infty }\Psi \frac{\partial \Psi ^{\ast }}{\partial x}dx\right ]$

 

                                  $=-\frac{i\hbar}{2m}\left [ \int_{-\infty }^{\infty }\frac{\partial \Psi }{\partial x}\Psi ^{\ast } dx-\left\{ \left | \Psi \Psi ^{\ast }\right |_{-\infty }^{\infty }-\frac{\partial \Psi }{\partial x}\Psi ^{\ast }\right\}\right ]$

 

                                   $=-\frac{i\hbar}{2m}\left [ 2\int_{-\infty }^{\infty}\frac{\partial \Psi }{\partial x}\Psi ^{\ast } dx\right ]$

 

                                    $=-\frac{i\hbar}{m}\int_{-\infty }^{\infty}\frac{\partial \Psi }{\partial x}\Psi ^{\ast } dx$

 

요게 위치x의 기댓값을 미분한 넘이렷다. 즉슨 속도의 기댓값 말씀이야

근데 아~우 쫌 기네 요거 대충 군데 군데 토를 달아놔야 담에 볼때 수월하지 ㅋㅋㅋ 잔머리는 ㅡ.ㅡ

식 첫줄 ⇒ 둘째줄 ; 앞절에서 구해논거 대입

식 5줄 ⇒ 6줄 : 미분연자 항개 빼냈다. 왜? 기냥 문제 풀라공

식 6줄 ⇒ 7줄 : 부분적분 한거고, 7줄 앞부분 0되고

식 9줄 둘째항 부분적분, 식 10줄 중괄호 첫항도 0이네 그라고 정리 맞지? 응? 응! ok!

조 우에서 위치의 기댓값<x>을 미분하면 속도의 기댓값이 된다고 했자너 그렁께

 

$\frac{d}{dt}<x> =< v> $

 

            $=-\frac{i\hbar}{m}\int_{-\infty }^{\infty}\frac{\partial \Psi }{\partial x}\Psi ^{\ast } dx$

 

자 그람 요기다 질량m을 곱하며는 운동량의 기댓값이 되것네! 그렇컷네

 

            $=m\left (  -\frac{i\hbar}{m}\int_{-\infty }^{\infty}\frac{\partial \Psi }{\partial x}\Psi ^{\ast } dx \right )$

 

            $=-i\hbar\int_{-\infty }^{\infty}\frac{\partial \Psi }{\partial x}\Psi ^{\ast } dx $

 

            $=\int_{-\infty }^{\infty}\frac{\hbar}{i}\Psi ^{\ast}\frac{\partial \Psi }{\partial x}dx$

 

            $=\int_{-\infty }^{\infty}\Psi ^{\ast }\left ( \frac{\hbar}{i}\frac{\partial }{\partial x} \right )\Psi dx$

 

욜케 해서리 운동량의 기대값 요놈 <P>이눔을 구해따 아~~~우 어깨죽지야

근데 말이여 조식을 딱 쳐다보면 무신 생각이 나노?

운동량의 기댓값을 계산했더니 나온 꼬락서니가 왜 저모양 일까? 확률 ×( 어짜고) = 운동량기대값 이니까

운동량의 함수로 표시되는 물리량을 (어짜고)에 넣고 계산하면 되지않것냐? 왜냐고 ..... 양자역학에서는 물리량이 몽땅 state function 으로 나타나고, 요걸 제곱해서 확률밀도로 맹글고, 그라고 적분해서 확률이 나오면 답이다. 이카잖아, 그랑께 위치와 운동량의 함수로 표시되는 어떤 물리량을 Q(x,p)라 하면

 

$<Q\left ( x,p \right ) > =\int \Psi ^{\ast }Q\left ( x,\frac{\hbar}{i} \frac{\partial }{\partial x}\right )\Psi dx$

 

요러코럼 일필휘지(ㅡ.ㅡ) 하며는 이눔요고 $\left ( \frac{\hbar}{i} \frac{\partial }{\partial x}\right )$ 요거이가 운동량을 구하는 연산자가 되신다 . x는 위치를 구하는연산자가 되시것다. 근디 운동량연산자는 $\hat{P}$ 욜케 표시허고,  위치연산자는 . $\hat{x}$ 욜케 욜케 표시하니까 이말씀을 가슴깊이 새겨두자 ㅋㅋ​

아리송 한거는 3장에서 자세히 갈챠준다니께 맛만 보고가자

또? 또 하나 더있넹 쩝.............

 

운동에너지T ~, 아니 운동에너지의 기댓값<T> 양자역학에서는 기댓값으로 표시한다 앙켔나 이자뿌지마라

고전역학에서는 $E_{k} =\frac{P^{2}}{2m}$ 이켔는데 요긴 양자역학 동네니까

 

$T=\frac{P^{2}}{2m}=\frac{1}{2m}\left ( \frac{\hbar}{i} \frac{\partial }{\partial x}\right )^{2}=-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial ^{2}}{\partial x^{2}}$

 

$< T> =\int \Psi \left ( -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial ^{2}}{\partial x^{2}} \right )\Psi ^{\ast }$

 

요렇게 간단하게 걍 후루룩 잡숴 버렸는디 근디 요거 수식 편집기 요거 보통 노가다 아니네 이야~~~

 

​이~야

이거 보통일 아니네

길은 나섯는데 앞길이 수만리네 ㅋㅋ ㅋㅋㅋ