제1장 파동함수 ...... 1.3 확률

짧은 시간에, 딱딱한 돌머리에 엄청시리 많은 자료를 새기고, 분석하고, 정리할라카니 어지랍고, 까묵고, 헷갈리고 보통일이 아니지라? 웅? 아니 ...... 내가 그랫다고 ㅡ.ㅡ 싱싱한 젊디 젊은 분들이야 관심갖고 집중하면 요것들 쯤이야, 허나 쪼매 굳은 분들은 쉽지 않지여. 낼가도 호상인 우리들은 새긴데 또새기는 방법밖에 없지라 ... ㅋㅋ   기래서

 

통계학 용어와 계념 https://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%86%B5%EA%B3%84%ED%95%99   위키

확률론 강의 사이트 http://kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=422509     KOCW 단국대

 

양자역학과 관련된 학문분야 전체를 몽땅 정통하고 싶은 욕심이야 굴뚝 같은데 꿈이지 꿈 ㅠㅠ 꿈도 못꾸냐?

장삼이사중의 지극히 평범한 내가 (혹 좀 딸려도 봐주셔여) 꿈이라도 좀 달달하게 꾸자야 !!! 아띠

우짜것노 딸리면 딸리는 대로 해야지 괜히 욕심부리다 가랭이 찌어진다. 고 그라더라

근디 말은 맞는거 같은디 우째 기분이가 쌔~~~~하다야 ㅋㅋㅋ     이렇게 나는 양자역학을 머리에 새겼다.

 

각설하고 확률에서 불연속변수와 연속변수가 있는디

불연속변수는 커피잔 1개, 2개, 3개 ....... 요렇게 세잖아, 거피잔 1/2개 주세요 ??? 돌은 넘

 

연속변수는 시계가 째각거리고 간다. (아날로그시계다 시비걸지마라) 오늘 아침 파란닭이 빨강계란 한개 를 낳았는디 요계란이 닥알통에 딱 떨어진 시간이 언제일까? 맟추어 봐라. 06시10분18.134231....초? 니가 알면 도사지, 요럴 때 딱 시간은 못맟추잖아? 요때 바로 요때 요럴때 구간을 정해서리 06시 10분 17초~06시10분19초 사이에 낳았을 확률이 얼마인지로 이바구하는 것이 안맞것냐? 즉 측정값이 구간 a~b사이에 있을 확률 요거를 이바구 하는거여

 

자 그람 가보자 go go

 

불연속 변수 (Discrete variables)

책에 좌악 풀어 놧는데 줄이자 줄여 손구락도 아푸고 그림 기리기도 힘들고 ...

초딩 교실안에 나이(j)가 9살 1명, 10살 2명, 11살 1명, 욜케해서 딱 4명의 학생이 있어

 

요걸 식으로 나타내면

 

$N=\sum_{j=0}^{\infty }N(j)$

 

$N=j$ 가  9(9살) 일때 1명 + 10일때 2명 + 11일때 1명,   합계 4명 = N

 

요때 1명을 딱 찍었을 때 나이가 j세일 확률은 얼마일까?

 

나이가 j세인 학생/ 교실안에 있는 학생수 몽땅 = $\frac{N(j)}{N}$     =>     요걸 보통 $P(j)$라고혀 Probability 앞글자 P를 따서리​

 

1명\ 딱찍었는데     10살일 확률은     2명/4명 = $\frac{1}{2}$ = 50%

 

그러면 나이별로 맞출 확률은     9세일 확률은    $\frac{1}{4}$  = 25%

 

                                               11세일 확률은    $\frac{1}{4}$ = 25%

 

그러면 확률의 총합은 당근 $100%=\frac{4}{4}=1,$     확률의 합은 $\sum P(j)=1$ 이겠지 뭘 물어

 

다음은 평균나이가 몇살 이것노?

​

평균은 <j> 욜케  표시한다네.  

평균나이 이니까  j써서  위에서 나이를 j라고  혔잖어 평균은 4명몽땅 합한 나이가 그니까

{( 9세1명=9)+(10세 2명=20)+(11세1명=11)} = 40세​

그라면 1명당  평균나이는 {40세} / {4명} = 10세이네, 와 대단하다 ㅋㅋ 

 

식으로 나타내면

 

$< j> =\frac{\sum jnj}{N}=\sum jP(j)$

 

다음은 편차를 구해보자 근데 편차가 무어냐?

 

평균에서 얼마만큼 떨어져 있느냐? 가운데(중간)에 있지 못하고 한쪽으로 올매나 치우쳐 있느뇨 ? 요말 ? ok!

 

관측값 - 평균값 = 편차, 편차 요걸 Δj 라고 하자 그라고 썰을 풀어보면

 

조기 바로 위에서 나이의 중심이 딱 중간이 10세 이네

 

          9세는 중심(평균)에서 1세 작다. 산수로 -1 (이거이 편차)

 

          11살은 중심(평균)에서 1세   많다. 산수로 +1 (이거이 편차)

 

근디 전체의 값들이 어떤 분포를 보이느냐 요걸 한눈에 알아보고 싶단 말이얌 ! 편차를 몽땅 더해보면 얼마나 값의 차이가 나는지 알수 있을까?

 

얼라리요 (-1)+(+1) = 0 이잖아, 

(- - - 빼기, .......)  (중간=평균)  (+++더하기,.......) 요러케 만든 평균이기 땜에 좌우 더하면 말밥 0이지 글치

 

그라묜 우짤꼬......우야꼬...... 하다가 또 또 공부 잘하는 사람들이 편차는 평균에서 멀어져 있는 거리 아니냐 

 

그러니까 빼기(-) 저거를 수학적으로 불만없이 더하기로 만들 방법이가 무엇일까? 하다가 제곱하면 되것네 글네!

 

그라고 나중에 제곱근$\sqrt{*}$ 요거를 씌워 주면 되잔여! 글치?

 

요렇게 해서리 만든 것이 편차의 제곱 인데 .... . 요건 머땀시 구하냐구? 웅!  분산을 알고 시퍼서 ㅡ.ㅡ

 

분산이라 

말뜻을 헤아려 보면 흩어져 있는 모양세

그런데 어떻게 흩어져 있는지 알라면 기준이 있어야 하니께 딱가운데를 기준으로 하면 그러니까 중심(평균)에서 흩어져 있는 정도, 즉 중심(평균)에서 얼마나 멀리 떨어져 있는지를 물어보는 거잖아 ok!!!

 

방법이는 각 값들의 편차를 제곱해서 몽땅 더한다. 그라고 요거슬 전체갯수로 나눠주면 ... 요거이 분산이 되는디, 한마디로 분산은 편차제곱의 평균 이다. 엥 두마디네 ㅋㅋ

 

쓰~윽 훑어보면서 눈에 익혀둬야 손구락에 쥐내리는거 줄일 수 있다. 

j = 나이값 1개, P(j)=각 나이값의 확률, <j>=평균나이, j2=나이의 제곱, <j2>=나이 제곱의 평균, Δj=편차 , <Δj2>=편차제곱의 평균, 그라고 요거슨<j2> 식으로 맹글어 놓고 익혀 놓으면 나중에 쓸모가 있을겨 떡 본 김에 ...

 

$< j^{2}> =\sum_{j=0}^{\infty }j^{2}P(j)$

 

글고 또 참고로 요 그림 보면 쪼매 이해하는데 도움이 되것다. 그쟈?  그쟈 하니까 시골스런 감성의 가수 최백호가 생각나네 ㅡ.ㅡ

 

 

 

자!! 자!!     이래노코 분산 즉 편차제곱의 평균을 수식으로 함 구해 보자잉

 

$< \Delta j^{2}> =\sum_{}^{}P(j)(\Delta j)^{2}$

 

                 $=\sum \left [ (j-< j> )^{2} \right ]P(j)$

 

                 $=\sum \left ( j^{2}-2j< j> +< j> ^{2} \right )P(j)$

 

                 $=\sum j^{2}P(j)-2j< j>\sum jP(j) +< j> ^{2} \sum P(j)$

 

                 $=< j^{2}> -2< j> < j> +< j> ^{2}\cdot 1$

 

                 $=< j^{2}> -< j> ^{2} $

 

그러고 분산을 $\sigma ^{2}$ 요렇게 쓰더라

 

자!! 그러며는  제곱해 줬응께 원래대로 되돌려 놓아야지 ....그라면 표준편차가 된다.

 

$\sigma =\sqrt{<j^{2} > -<j >^{2} }$

 

그라고 $\Delta j^{2}$ 은 절대로 음수가 될수 없것지! 

또 그라고 $<j^{2} > \geq <j > ^{2}$ 이렇게 되겠지 그렇것지 !!!! 못믿겠으면 함 해보덩가 ㅋㅋㅋ

요기서 $<j^{2} > = <j > ^{2}$ 이경우는 분포가 한값에 몰려 있을때만 글케된다. 당근이쥐!!!!

요래서 이산확률변수에 대하여서는 정리가 대~충 다된거 같으니 다음은

 

 

연속변수 (Continuous variable) 

 

연속변수가 무엇이냐? 하고 물으시면 앞의 불연속변수는 딱딱 끊어 셀수있는 관측값이고 연속변수는 딱딱 끊어 셈하기가 곤란한 관측값을 구간을 정하여 그 구간안의 밀도값으로 셈하는거, 바로 확률밀도를 말하는거, 요넘을 연속변수라고 말한다고들 하네여

그니까 말인즉선 이름이가 뭐든 확률이니까 전체범위 젤로 크게 잡으면 -∞~∞ 아니것냐 요범위에서의 값을 몽땅 다 더하면 1일 것이고, 왜냐고 확률이니까? 근디 특정 구간(a~b)을 정하여 그 구간안에서 값이 존재할 확률은 연속해서 더해야 하잖아 그랄라면 당근 적분으로 값을 구해야지 않것냐 욜케

 

요것은 구간 [a, b]에서     $P_{ab}=\int_{a}^{b}\rho (x)dx$

 

요것은 전체구간에서     $1=\int_{-\infty }^{\infty }\rho (x)dx$

 

그라고 다른 것들도 앞에서 불연속 변수에서 구한거 그것들 Σ 이눔을 ∫ 이눔으로 하면 고대로 쓸수 있것지 그렇것지 맞지 맞잖아 ok ? 응 ok !!!

 

$< x>                     =\int_{-\infty }^{\infty }x\rho (x)dx$

 

$<f(x)>                   =\int_{-\infty }^{\infty }f(x)\rho (x)dx$

 

$\sigma ^{2}          =<(\Delta x)^{2} > =<x^{2} > -< x> ^{2}$

 

 

요로케 되것는디

 

아이고 허리야, 손구락이야, ㅠㅠㅠ